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发表于 2019-2-27 15:41:38 |显示全部楼层
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                   ——《数学与哲学》读书心得
                        海师附小    张春新
对数学史、数学文化的严重匮乏,是很多和我一样中师毕业的小学数学教师的先天不足。为了拓宽我的眼界和思考问题的深度,使论文有厚度和广度,导师推荐我读了许多中外的数学专著。我用了一学年的时间断断续续,往往复复的终于读完了《数学与哲学》,这本张景中院士献给数学爱好者的书,读一遍没弄懂,再读一遍,所以读的很慢。阅读这本书的过程,使我充分感受到由阅读引起思考再积极去探究、实践的乐趣。
   
第一次看到张景中院士的力作《数学与文化》,心底就有一种强烈的文化“哺乳”的欲望,看完封底上王元院士的序更是被深深地吸引了。著名数学家、中科院院士王元先生在作序中是这样评价这本书的:“这是一本可读性很高,可以雅俗共赏的书,各种程度的人都可以从该书中受到启发与益处,也包括数学专业研究人员在内,因为这些人不一定很熟悉历史上的一些数学争议……本书对这一系列重大事件作了通俗具体的解释,看了觉得很有趣味。一般说来,具备数学程度的人,就可以了解其大意。但本书又不是完全没有实质性叙述的夸夸其谈工作,使读者不知所云,所以本书虽然是通俗讲法,但并不失去严谨性。这恰好是科普著作必须把握而容易忽略的要害之处。作者是花了不少功夫的,所以本书在把握通俗与严谨两个方面都做得比较好。是一本值得推荐的科普读物。”
从序中我们也可以看出张景中院士的《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件或争议,用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势,及以后的解决办法及数学的飞跃发展。
正因为张景中先生力所做的这些努力,让数学与哲学变得既简单有趣,又不是严谨,使得我这样数学水平的人也能看懂还觉得有趣。通过这本书的阅读,我了解到了数学发展史上发生的一系列重大事件,比如,数学经历的三次“危机”、数学与哲学相互促进发展的过程,等等。我知道了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪几种几何才是真的、变量、无穷小、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、命运决定还是意志自由等。
读了这本书,我还弄懂了这样一个问题——数学是一门研究数量关系的学科,哲学则是研究不同质之间相互关系的学科。也就是说,哲学是对具体的东西作抽象的研究,而数学是对抽象的东西作具体的研究。为什么会出现这种情况呢?我想书中的观点已经给出了解释:哲学,在某种意义上是望远镜。当旅行者到达一个地方时,他不再用望远镜观察这个地方了,而是把它用于观察前方。数学则相反,它是最容易进入成熟的科学,获得了足够丰富事实的科学,能够提出规律性的假设的科学。它好像是显微镜,只有把对象拿到手中,甚至切成薄片,经过处理,才能用显微镜观察它。哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下,但是它可以从事任何具体学科无法完成的工作,它为学科的诞生准备条件。数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作,但是它离开具体学科之后无法作出贡献。它必须利用具体学科为它创造条件。哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对象,那时,它是包罗万象的,数学只不过是算术和几何而已。但如今,数学的领域在扩大,哲学的地盘在缩小。
   
本书作者,中国科学院院士、著名的数学家、中国科普作家协会理事长张景中先生,他曾经说:“我想把数学变容易”;“我一直希望,能将教科书写成科普那样具有可读性,让学生们在上课之前就迫不及待想读一遍,而上完这门课后还舍不得扔。此等境界,心向往之。”难怪!《数学哲学》开篇第一句话:“联系数学的发展历史学习数学哲学,有趣而有效”。是啊,只有有趣的东西,它才是具有生命力的!是的,数学哲学这本书张景中先生就力图使它变得容易些,使得我这样数学水平的人能看懂还觉得有趣。由此,我就想到张景中院士在《感受小学数学思想的力量—写给小学数学教师们》一文中提出的他一直致力于把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。他认为,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟。把变量和函数的思想、数形结合的思想和寓理于算的思想结合起来,往往能够化难为易,化繁为简。[1]张景中先生认为函数思想最重要,他力图用函数的思想让小学生来学数学,他认为这样会使小学生学习数学变得容易,因为用函数去思考,更能让小学生理解问题的实质。这样“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子都容易理解。”他提出,小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解决各种各样的题目呢?这引起了我极大的探究愿望。长期以来,应用题一直是许多孩子觉得头疼的问题,是的,能不能对应用题做些改革,使得孩子们觉得容易呢?
   
受张景中先生的启示,在导师的指导下,我对小学应用题的题型作了一些探究,发现尽管小学数学应用题的题型是多种多样的,但它们的数量关系一般都可以用一次函数f(x)=kx表示,而且是f(0)=b,f(n)=kn+b,f(n+1)=k(n+1)+b。因此
file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72D3.tmp.png=file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72D4.tmp.png=file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72D5.tmp.png=x
依据上面一次函数的公式,尝试构建小学数学应用题的函数模型,“多题一解”形成通解。
对于小学数学应用题一般都可以这样去解:先将要求数假设为0,与实际结果比较构造一个数量差;然后再探寻要求数每增加1,上述数量差的变化规律;最后看要求数需要增加到多少,才能使这个数量差缩减为0。
如:例1、 阳光小学一学期 四年级38人和五年级32人共向学校图书馆借书408本,已知四年级平均每人比五年级每人少借4本。四、五年级平均每人各借书多少本?
分析与解 假设四年级平均每人借书的本数为0,那么五年级平均每人借书的本数为4本。而四年级38人和五年级32人共借书4×32=128本,比实际少408-128=280本。
四年级平均每人借书的本数增加1本,则五年级平均每人借书的本数也增加1本,那么四年级38人和五年级32人共增加38+32=70(本)。即上述数量差缩减280本。
四年级每人借书的本数要增加到多少本,才能使“280”这个差缩减为0呢?280÷70=4(本),即四年级平均每人借书4本,而五年级平均每人则借书4+4=8(本)。
综合算式:(408-32×4÷(38+32)=4(本)(四年级每人)
          4+4=8(本)(五年级每人)
例2、某食堂原计划30天用完一批大米,实际每天比原计划多用36千克,结果24天就用完。原计划每天用多少千克?
分析与解 假设原计划每天用大米的千克数为0,那么实际每天比原计划多用36千克。而实际用大米的总千克数比原计划用大米的总千克数多36×24=864(千克)。(两者实际应相等)
原计划每天用大米的千克数每增加1千克,则实际每天用大米的千克数也增加1千克,那么原计划用大米的总千克数增加30千克,实际用大米的总千克数增加24千克,上述数量差缩减30-24=6(千克)。
原计划每天用大米的千克数要增加到多少千克,才能使“7344”这个差缩减为0呢?864÷6=144(千克),即原计划每天用大米144千克。
综合算式:36×24÷(30-24)=144(千克)
例3、鸡比兔多4只,兔脚比鸡脚多24只。鸡与兔各有多少只?
分析与解 假设兔的只数为0,那么鸡有4只,而兔脚比鸡脚少2×4=8(只)。实际上,兔脚比鸡脚多24只,两者相差8+24=32(只)。
兔的只数每增加1只,则鸡的只数也增加1只,而兔脚增加4只,鸡脚增加2只,上述数量差缩减4-2=2(只)。
兔的只数要增加到多少只,才能使“32”这个差缩减为0呢?32÷2=16(只),即兔有16只,则鸡有16+4=20(只)。
综合算式:(2×4+24÷(4-2)=16(只)(兔)
          16+4=20(只)(鸡)
例4、静静和亮亮折纸花,静静折的是亮亮的2倍,如果静静再折8朵,亮亮再折1朵,那么静静折的纸花是亮亮的4倍。静静和亮亮原来各折了多少朵?
分析与解 假设亮亮原来折的朵数为0,则静静原来折的朵数也是0,静静再折8朵,亮亮再折1朵后,静静折的不是亮亮4倍,而是比亮亮的4倍多8-1×4=4(朵)。
亮亮原来折的朵数每增加1朵,则静静折的朵数增加2朵。而再折后,静静增加2朵,亮亮的4倍增加4朵,上述数量差缩减4-2=2(朵)。
亮亮原来的数量要增加到多少朵,才能使“4”这个差缩减为0呢?4÷2=2(朵),即亮亮原来折了2朵,而静静原来折了2×2=4(朵)。
综合算式;(8-1×4÷(4-2)=2(朵)(亮亮)
           2×2=4(朵)(静静)
例5、商场以每台4500元购进一批空调,售价为每台6200元,当卖出这批空调的file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72D6.tmp.png时,不仅收回了全部成本,而且已获利27600元。这批空调一共有多少台?
分析与解  假设这批空调的台数为0,那么卖出file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72D7.tmp.png时,收回全部成本,比实际少获利27600元。
这批空调的台数每增加1台,则可以多获利6200×file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72D8.tmp.png-4500=460(元)。
这批空调的台数要增加到多少台,才能使“27600”这个差缩减为0呢?27600÷460=60(台),即这批空调一共有60台。
综合算式:27600÷(6200×file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps72E8.tmp.png-4500)=60(台)

以上这些例题都有其他解题思路,但把它们转化成函数模型进行解答,虽然不一定是它们的最简解法,却具有一般性,是它们的“通解”,这个思路能解决许多问题,正如张景中先生所说,是“大智若愚”。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。代数模型和函数模型,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。
目前,小学里一般以算术模型为主。如果小学数学应用题都以函数模型来建立,它将会使许多小学生觉得应用题很简单,对小学数学应用题教学将是一个巨大的,颠覆性的改革,我的研究只是最初步的,要完成它,远非我这个普通一线老师所能完成的。但是,我很开心,因为我迈开了让数学变得简单,让学生学习数学变得容易一些的第一步。
感谢阅读,是它,启迪了我的思维,使我有了新的思考,是它,使我有了探究问题的欲望,是它,使我的教学实践充满研究的乐趣!
   

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